Если в число аксиом входят аксиомы 1–8 или какие-нибудь им равносильные, то в любой модели можно выделить стандартную часть 0, 0', 0'', …; нестандартность модели означает в этом случае непустоту нестандартной части. Эта нестандартная часть может оказаться устроенной более сложно, чем на рис. 3. На рис. 3 нестандартная часть подобна с точки зрения порядка множеству Z всех целых чисел. При естественных же аксиомах для сигнатуры, включающей операцию сложения, нестандартная часть всякой счётной (т. е. насчитывающей счётное число элементов) структуры, удовлетворяющей этим аксиомам, имеет вид, который мы (не очень удачно) пытались изобразить на рис. 4. На этом рисунке мы пытались как-то выразить следующую идею: берётся очень много (бесконечное счётное число) экземпляров множеств целых чисел Z, и эти экземпляры располагаются так, как расположено множество всех рациональных чисел Q.

Итак, предъявить систему аксиом, определяющую понятие натурального ряда (какой угодно сигнатуры), невозможно. Более подробная расшифровка этого утверждения, как мы знаем, такова: какие ни выбрать определённые на N операции и отношения, не может быть такой системы аксиом, все модели которой изоморфны N относительно этих операций и отношений.

Вот теперь и ответим на в опрос: а как же аксиомы Пеано?

Классические аксиомы Пеано с несущественными изменениями устроены так. Рассматривается сигнатура {0, '}. Формулируются три аксиомы.

I. ¬ ∃ x (x′ = 0).