Бывают и неэлементарные формулы, но они принадлежат неэлементарному языку. В этом языке допускаются переменные более сложной природы – предикатные переменные валентности 1, значениями которых служат свойства (= одноместные отношения), предикатные переменные валентности 2, значениями которых служат бинарные (= двуместные) отношения и т. п., а также функциональные переменные (значением функциональной переменной валентности 1 может быть любая одноместная операция, такая, скажем, как «следование за», а значением функциональной переменной валентности 2 может быть любая двуместная операция, такая, скажем, как сложение). Аксиома индукции служит примером неэлементарной формулы. Более точно, неэлементарный язык с описанными только что возможностями называется языком 2-го порядка: это значит, что в нём допускаются переменные, пробегающие по отношениям и операциям (каковые отношения и операции должны быть определены на элементах структуры), но не рассматриваются более сложные переменные, значениями которых могут служить, скажем, свойства операций или операции над отношениями (или свойства отношений, такие как транзитивность). Аксиома индукции служит примером неэлементарной формулы языка 2-го порядка (или просто примером формулы 2-го порядка).

Казалось бы – и наличие аксиом Пеано это как бы подтверждает – возможна система неэлементарных аксиом 2-го порядка (т. е. аксиом, записанных в виде формул этого неэлементарного языка), определяющая понятие натурального ряда в следующем точном смысле:

1) N является моделью этой системы;

2) всякая модель этой системы изоморфна N.

Однако здесь возникают неожиданные, но совершенно фундаментальные трудности семантического (можно даже сказать – гносеологического) характера. Дело в том, что уже для языка 2-го порядка (не говоря уже о более сложных неэлементарных языках) само понятие модели теряет необходимую ясность. Это положение иллюстрируется следующим примером, связанным с так называемой проблемой континуума.

Как известно, количество элементов какого-либо множества называется кардинальным числом, или мощностью, этого множества. Понятие кардинального числа, или мощности, является обобщением понятия натурального числа, поскольку натуральные числа – это мощности конечных множеств. Среди бесконечных мощностей выделяются следующие две: мощность множества всех натуральных чисел и мощность множества всех действительных чисел (или всех точек какой-либо прямой). Первая обозначается (читается «áлеф-ноль») и называется счётно-бесконечной мощностью (или бесконечной счётной, а чаще – просто счётной, хотя нередко бывает полезным называть счётными не только счётно-бесконечные, но и конечные мощности, т. е. натуральные числа); вторая обозначается (строчное готическое «це») и называется мощностью континуума, континуальной мощностью. Эпитеты «счётно-бесконечный» («бесконечный счётный», «счётный») и «континуальный» распространяются и на множества соответствующих мощностей. Очевидно[157],