Таким образом, всякая структура, удовлетворяющая аксиомам Пеано, изоморфна N, и, следовательно, эти аксиомы определяют понятие натурального ряда с сигнатурой {0, '}. Вроде бы это обстоятельство противоречит неоднократно делавшемуся нами заявлению, что системы аксиом с таким свойством не может быть.

Однако противоречия нет, и вот почему. Ранее речь шла лишь о свойствах Натурального Ряда, которые можно выразить определёнными языковыми средствами, иными словами, об аксиомах, записанных на определённом языке. В этом языке был лишь один вид переменных – индивидные переменные x, y, z, …. Сущность этих индивидных переменных заключается в том, что при интерпретации на какой-либо структуре областью изменения каждой из этих переменных объявляется одно и то же множество – множество всех элементов рассматриваемой структуры. В аксиоме же индукции участвует переменная другого вида – переменная Р. Её значениями являются не элементы рассматриваемой структуры, а свойства этих элементов (иначе, определённые на этих элементах одноместные предикаты, отчего сама переменная Р называется предикатной, точнее, предикатной переменной валентности 1). Таким образом, аксиома индукции – это формула другого, расширенного языка, более широкого, нежели рассматривавшийся до сих пор узкий язык. (Узкий потому, что в нём бывают только индивидные переменные.) А когда мы говорили, что систем аксиом, полностью характеризующих натуральный ряд, не бывает, мы имели в виду этот прежний, узкий язык.

Разъяснение, конечно, дано, но вряд ли оно кого-нибудь удовлетворит. Что с того, что на каком-то языке нельзя написать систему аксиом натурального ряда? Это, как говорится, «факт не биографии натурального ряда, а биографии этого языка». Просто-напросто узкий язык плохой, а вот теперь мы нашли хороший, расширенный язык, на котором как раз и возможно выписать адекватные аксиомы натурального ряда.

Однако всё не так просто. Грубо говоря, дело обстоит как раз наоборот: узкий язык «хороший», а расширенный – «плохой».

Попробуем разъяснить ситуацию. Начнём с терминологии. Формулы, в которых все переменные индивидные, называются элементарными, а язык, в котором допускаются только элементарные формулы, – элементарным. Синонимом для термина «элементарный» в данном контексте является термин «1-го порядка», или «первопорядковый». Все рассматриваемые выше аксиомы, кроме аксиомы индукции (т. е. все аксиомы 1–8 и I–II), были элементарными аксиомами, т. е. элементарными формулами. Не существует никакой (ни конечной, ни бесконечной и притом любой сигнатуры) системы элементарных аксиом, которой удовлетворял бы Натуральный Ряд N и все модели которой были бы изоморфны Натуральному Ряду N.