Это заставляет отнестись с особым вниманием к Броуэру, который, не пугаясь проблемы, обещает выяснить природу бесконечного.

Но позволительно сомневаться, что интуиция и конструкция новых образов, исходя из натурального ряда, окажутся при этом надёжными руководителями. В частности, Броуэр изучает континуум в форме бесконечных последовательностей натуральных чисел, так как только в такой форме его естественно получать чисто логическими средствами. Исторически же идея континуума создалась посредством идеализации действительно наблюдаемых непрерывных сред; пока трудно представить себе, как отсюда извлечь опору для развития математической теории, но только это было бы прямым путём к пониманию природы математического континуума.

Комментарии

1. Написание собственных имён во всех случаях оставлено таким, как оно было в исходном тексте. В 20-е гг. XX в. при передаче кириллицей иностранных имён стремились в большей степени отразить их написание, нежели произношение. Впоследствии тенденция сменилась на противоположную, и сейчас фамилия французского математика Hadamard передаётся как Адамар.

2. Имеются в виду письма, которыми обменялись между собой Адамар, Борель, Бэр и Лебег: Cinq lettres sur la théorie des ensembles // Bulletin de la societé mathématique de France. 1905. T. 22. P. 261–273. Возникшая по инициативе Бореля, эта переписка публиковалась затем во втором и последующих изданиях его «Лекций по теории функций» (Borel Е. Leçons sur la théorie des functions. 2ème éd., augmentée. Paris, 1914), а также в собрании его трудов (Œvres de Emile Borel. Paris, 1972. P. 1253–1265).

3. Сейчас французская фамилия Baire передаётся как Бэр.

4. Например, в параграфе 13 монографии S. С. Kleene «Introduction to Metamathematics» (N. Y., Toronto, 1952; русский перевод: Клини С. К. Введение в метаматематику. – М., 1956) показывается, что при доказательстве теоремы о существовании наименьшей верхней грани используются рассуждения, сходные с теми, которые в другой ситуации приводят к знаменитому парадоксу Рассела о множестве всех множеств, не содержащих самого себя в качестве элемента. Ниже, в разделе III статьи А. Н. Колмогорова, этот парадокс Рассела будет изложен.

5. Сейчас английская фамилия Russell передаётся как Рассел.

6. Сейчас голландская фамилия Brouwer передаётся как Брауэр.

7. Русский перевод: Гильберт Д. Основания геометрии. – М.-Л., 1948.

8. Такая система предметов и отношений называется моделью рассматриваемой совокупности аксиом.

9. В литературе по основаниям математики термин логистика понимается в двух близких значениях: 1) как учение о формализованных языках, ограничивающееся чисто синтаксическими методами конструирования и анализа этих языков без апелляции к их семантике; 2) как направление в основаниях математики, пытающееся свести математику к логике (это направление называют также, и притом более часто, логицизмом).