Это важное место стоит пройти еще раз. Мы соединили знаком плюс два состояния |↑⟩ и |↓⟩. Первое из них – это состояние электрона с компонентой спина вдоль направления z, равной 1/2 ħ, а второе – состояние с компонентой спина вдоль z, равной –1/2 ħ. Это самые элементарные высказывания о компоненте спина; их соединение, казалось бы, должно породить что-то более сложное, но в действительности оказывается таким же элементарным «высказыванием»: компонента спина электрона вдоль другого направления, а именно x, равна 1/2 ħ. Аналогичным образом разность |↑⟩ – |↓⟩ (которую, разумеется, мы получаем, беря сумму |↑⟩ + (–1) · |↓⟩) оказывается состоянием электрона, компонента спина которого вдоль x равна –1/2 ħ, т. е. противоположна направлению оси x; напрашивается обозначение |↗⟩ для этого состояния. Снова получается, что |↑⟩ – |↓⟩ = |↗⟩: составное высказывание в терминах компоненты спина вдоль z оказывается простейшим высказыванием о компоненте спина вдоль x.

Арифметике абстрактных состояний отвечают повороты в пространстве

Арифметике абстрактных состояний отвечают повороты в пространстве

Если мы думали, что сумма или разность «слов» – уже не «слова», а «фразы», то теперь видим, что в этом странном языке нашлись «слова», целиком выражающие эти «фразы». «Фразы» и «слова» – одно и то же. А если бы мы исходно выбрали направление x, чтобы определять значения компоненты спина, то простейшими нам казались бы состояния |↗⟩ и |↙⟩, а их сумма и разность выглядели бы как что-то сложносочиненное. Но их сумма – это состояние электрона с компонентой спина, направленной вверх по z, а их разность – состояние с компонентой спина вниз по z.[247] И это частный случай общей ситуации, применимой к описанию не только спина, но и разнообразных других свойств квантовых объектов: в зависимости от того, какие состояния системы нам более интересны по тем или иным причинам (например, в силу постановки эксперимента), может оказаться предпочтительным тот или иной набор «вещей»; им будет тогда соответствовать набор особо «любимых» состояний системы. Но другой выбор «вещей» приведет к другому набору «любимых» состояний, и каждый из двух наборов выражается через другой с помощью подходящих сумм с умножениями. Ни один из наборов с принципиальной точки зрения не лучше и не хуже другого.