Внезапно открываются довольно захватывающие перспективы, прежде всего – по преодолению вражды. Компоненты спина вдоль любых двух различных направлений враждуют. Но простая арифметика позволяет взять оба возможных состояния с определенным значением компоненты спина вдоль направления z и сконструировать из них состояние с компонентой спина «вперед» или «назад» не только вдоль оси x, но и вдоль любого выбранного направления в пространстве, просто выбирая числа a и b в состоянии a · |↑⟩ + b · |↓⟩ (как именно выглядит соответствие между парой чисел и направлением в трехмерном пространстве, снова определяется математически). Полная демократия! Любая «фраза» оказывается «словом» – состоянием, отвечающим определенной компоненте спина вдоль какого-то направления.

Состояния/волновые функции живут где-то отдельно, не вместе с «вещами», определенно не в физическом трехмерном пространстве. На простом примере спина электрона нам только что приоткрылось происходящее там у них. Суммы различных состояний («суммы с умножениями на числа») – тоже полноценные состояния. В результате состояний оказывается очень много, и среди них отыскиваются и те, что отвечают «забытым вещам», от рассмотрения которых мы вроде бы отказались из-за вражды одних величин с другими. Эта идея распространяется не только на спин, но и на все остальное, и она-то и решает «загадку половины». Начав с «любимых» состояний, отвечающих выбранной половине величин, мы можем конструировать из них такие состояния, которые отвечают враждебным величинам (именно враждебным, а не каким-то еще!). Способ конструирования всегда один и тот же – составлять подходящие «суммы с произведениями».

Вот еще один очень часто встречающийся пример построения «враждебных» состояний: из состояний с определенными значениями координаты x можно сконструировать состояние, отвечающее определенному значению враждебной величины – количества движения вдоль x, которое мы назовем p_x. Для этого возьмем все возможные значения выбранной координаты – какие-то x₁, x₂, x₃ и т. д. (значений бесконечно много). В соответствии с этим наши любимые состояния сейчас – это |x₁⟩, |x₂⟩, |x₃⟩ и т. д. Чтобы из них сконструировать состояния, отвечающие какому-то возможному количеству движения p_x, надо сложить все эти |x₁⟩, |x₂⟩, |x₃⟩, …, предварительно умножив каждое на свое число. Фокус в том, чтобы правильно подобрать эти числа. Фокусник, который умеет ловко находить нужные числа, спрашивает у вас, какое именно значение количества движения p_x вы «загадали». Вы сообщаете ему численное значение (оно имеет размерность: скажем, кг · м/с; ее тоже надо сообщить). Фокусник вводит это число в память своего калькулятора, а потом перебирает значения координаты x₁, x₂, x₃, … одно за одним и с каждым производит вычисление, используя ваше количество движения p_x. Калькулятор каждый раз выдает ему новое число: a_1, a_2, a₃ и т. д. (Эти числа – уже «голые», т. е. лишенные размерности; в заводских настройках калькулятора прошито значение постоянной ħ, с помощью которой из количества движения и координаты можно сделать «голое» число.) Вам остается только взять сумму состояний a₁ · |x₁⟩ + a₂ · |x₂⟩ + a₃ · |x₃⟩ +…, используя именно те числа, которые нашел для вас фокусник. Получается (длинное-предлинное в такой записи) состояние, которое – вот же фокус так фокус! – как раз и отвечает точно заданному количеству движения p_x, которое вы задумали. Впечатлившись, вы задумываете другое значение количества движения и просите фокусника повторить представление. Он делает те же вычисления с вашим новым значением, в результате вместо тех a_1, a_2, a₃ и т. д. получаются какие-то другие числа. Если их точно так же использовать для построения «длинной» суммы, то она и будет состоянием, которое отвечает вновь задуманному количеству движения.