При х —> оо дробь

поэтому, раскладывая арктангенс в окрестности нуля в ряд Тейлора, получаем:

Заменяя в последнем асимптотическом равенстве 2n на N и устремляя х к бесконечности, получаем:

N ~ π√x, х —> оо

что и требовалось.

Прибавление. На самом деле в решении есть лакуна. Конечное состояние системы, после последнего столкновения отвечает не обязательно нулевой скорости меньшего шара и скорости — V₁ у большего. Такое конечное состояние соответствует случаю, когда последнее столкновение легкого шара происходит с тяжелым шаром, а не со стенкой, и необходимым условием выполнения условия (4) является кратность π числу arctg (2√x/(x-1)). Последнее же условие выполняется далеко не при любом х. В тех случаях, когда условие (4) не выполняется последнее столкновение легкий шар претерпевает со стенкой и катится затем в сторону тяжелого шара, но уже больше не догоняет его из-за того, что скорость его стала меньшей, чем у тяжелого шара. Таким образом максимально строгое условие, налагаемое на n будет:

|V₁⁽ⁿ⁾| > |v₂⁽ⁿ⁾|. (5)

Из выражения для V^{-> (n)} найдем v₂⁽ⁿ⁾

Поэтому условие (5) превращается в: