Перемножая матрицы, получим:

Рассмотрим первую компоненту этого вектора, т. е. скорость тяжелого шара на n-м шаге:

Т.к. λ_ = λ^-₊, то и λⁿ_=  а значит,

Далее, имеем: λⁿ₊ = (х — 1 + 2i√x)ⁿ = (х + 1)ⁿe^inφ, где φ = arctg (2√x/(x-1)). Поэтому

V₁⁽ⁿ⁾ = V₁cos (n∙arctg (2√x/(x-1))).

Теперь мы в состоянии решить поставленную изначально физическую задачу. В самом деле, нам необходимо определить асимптотику числа соударений N легкого шара о тяжелый и стенку при условии х —> оо. Чем определяется это число N для любого конечного значения параметра х? Взаимодействие шаров можно представлять себе следующим образом: в начальный момент времени тяжелый шар движется к стенке со скоростью V₁. При этом он сначала замедляется по мере того, как легкий шар отбирает у него энергию, затем тяжелый шар останавливается, и наконец, процесс идет в обратном направлении, т. е. легкий шар начинает отдавать обратно запасенную энергию, разгоняя таким образом тяжелый шар до его начальной скорости (поскольку потери энергии отсутствуют). Значит, если мы определим номер шага n, на котором выполняется условие

V₁⁽ⁿ⁾ = — V₁

то число соударений N будет равно 2n (поскольку учитываются и соударения легкого шара со стенкой тоже, а соударения легкого шара с тяжелым шаром и со стенкой чередуются). Но условие (3) означает