При δ = w₀ решение задачи Коши имеет вид:

(6)

При δ —> w₀ общее решение должно переходить именно в него.

В общем случае δ /= w₀ решение задачи Коши имеет вид:

(7)

При δ —> w₀ частота осцилляций р —> 0, дробь > sin pt/p — > t, cos pt —> 1, и решение (7) переходит в (6). Видно, что хотя формально осцилляции (т. е. члены с синусом и косинусом) в решении (7) сохраняются всегда, но частота их (именно, р) становится столь малой, что на не слишком больших временах (много меньших, чем период колебаний τ = 2π/p >>1) они незаметны. Т. е. отличие δ от w₀о можно заметить лишь через очень большое время, и тем большее, чем меньше эта разность, что физически разумно.

Задача: "Возле жесткой стенки (но достаточно далеко) на горизонтальном полу лежит шар массы M, на перпендикуляре между этим шаром и стенкой лежит шар массы m (m < M). Большой шар начинает двигаться точно к стенке с какой-то скоростью. Малый шар начинает биться между стенкой и большим шаром (все соударения абсолютно жесткие и лобовые). Доказать что при M/m > оо, N/√(M/m) = —> π где N — число соударений малого шара с большим и стенкой."