Утверждается что при:

M/m = 1, N = 3 (всем ежам ясно);

M/m = 100, N = 31;

M/m = 10000, N = 314;

M/m = 1000000, N = 3141,

ну и т. д.

Решение.

Рассмотрим процесс упругого соударения двух шаров. Введем некоторые обозначения. Скорость большего шара обозначим через V₁ малого — через v₂. Эти скорости — алгебраические величины, т. е. они могут быть любого знака, смотря по тому, в какую сторону движется шар. Так, в начальный момент времени (до соударений) V₁⁽⁰⁾ < 0, v₂⁽⁰⁾ = 0. Отношение масс шаров M/m обозначим через x.

Известно, что в системе центра масс (Ц.М.) системы двух шаров столкновение заключается в том, что шары меняют свои скорости на противоположные. Поэтому обозначая скорости шаров в системе Ц.М. до столкновения через, соответственно, V^~₁^- и v^~₂^-, после столкновения — соответственно, V^~₁⁺ и v^~₂⁺, а скорость самого Ц.М. — через v_c, получаем:

Т.е., подставляя (1) в (2), для скоростей шаров после соударения получаем:

После столкновения шаров легкий шар (второй) еще сталкивается со стенкой. При этом скорость тяжелого шара не меняется, а скорость легкого меняется на противоположную: v₂⁺ |-> v₂⁺. Таким образом, если до k-го столкновения шары имели скорости, соответственно, V₁^(k) и, v₂^(k), то перед следующим, (л + 1) — м столкновением скорости их будут: