Покажем, что Vt € (—1,0) φ(1/t) > φ(t). Для этого рассмотрим функцию ξ(t) = φ(t)/φ(1/t) = t2еt — 1/t'. Ясно, что ξ(-1) = 1, а поскольку
φ
φ
φ
φ
Дальше все просто. Т. к. φ(t) < φ(1/t) Vt € (—1,0), то (обозначив 1/t через τ):
φ
φ
Поскольку t1 < —1 < t2, то соединяя (11) и (12), мы получим оба условия (9). Что и требовалось.
Коль скоро при a < е-e оба условия (9) выполнены, то действительно функция F имеет 1 minimum и 1 maximum, выполняется условие (5), и уравнение (4) в самом деле имеет три решения. Значит, и эквивалентное ему исходное уравнение (1) имеет три решения. Указанное положение дел иллюстрируется Рис. 4.
a
е
три
Рис. 4: Графики функций у = ax (красный), у = loga х (синий) и у = х (зеленый) — случай трех точек пересечения.
Рис. 4:
Графики функций у = ax (красный), у = loga х (синий) и у = х (зеленый) — случай трех точек пересечения.