Одна из точек пересечения графиков функций у = a^x (красный) и у = log_a x; (синий) лежит на прямой у = х, т. е. является еще и решением уравнений а^x = х и log_a х = х, а остальные две симметричны относительно этой прямой. При а —> е^-e данные точки «слипаются» на прямой у = х, при а = е~^е имеет место касание графиков функций у = а^х и у = log_a х, а в дальнейшем, т. е. при a > е^-e точка пересечения будет уже одна, и находиться она будет, конечно же, снова на прямой у = х (Рис. 5).

Рис. 5: Графики функций у = а^х (красный), у = log_a х (синий) и у = х (зеленый) — случай одной точки пересечения.

Рассмотрим уравнение линейного одномерного классического осциллятора с трением (уравнение затухающих колебаний):

х^∙∙ + 2δх^∙ + w²₀х = 0. (1)

Соответствующее характеристическое уравнение

λ² + 2δλ + w²₀ = 0 имеет корни