λ_1,2 = — δ ± √(δ² — w²₀)  — δ ± ip,

где

p = √(w²₀ — δ²)

Поэтому общее решение уравнения (1) есть:

x(t) = e^-δt(Ae^-ipt + Be^ipt). (2)

Уравнение второго порядка — две произвольные постоянные для того, чтобы удовлетворить любым начальным условиям.

Однако, здесь возникает трудность. Вот что говорит по этому поводу Л. И. Мандельштам («Лекции по теории колебаний», стр. 138):

«Рассмотрим последний случай, когда

δ = w₀, λ₁ =λ₂

При этом решение (2) принимает вид:

х = Ае^-λt. (3)

Если мы захотим приспособить такое решение к начальным условиям, то нам не хватит одной постоянной интегрирования. Нетрудно, однако, показать, что в этом специальном случае наряду с решением вида (3) имеет решение вида tе^-λt и общее решение таково:

х = Ае^-λt + Btе^-λt. (4)

В нем опять имеются две независимые константы, и его можно приспособить к любым начальным условиям.