Если число нечетное, то его можно представить в виде выражения 2k + 1 для некоторого целого k, и тогда

(2k + 1)² = 4k² + 4k + 1 = 4(k² + k) + 1.

4(k² + k) + 1 — не просто нечетное число. Это число, которое при делении на 4 имеет остаток 1.