Какие бывают остатки при делении на 4? 1 и 3 у нечетных чисел и 0 и 2 у четных. Так вот, выведенные формулы показывают, что у квадратов всегда остатки либо 0, либо 1. Например,

0² = 0, 1² = 1, 2² = 4,

то есть ноль при делении на 4, далее — 9, 16, 25, 36, 49 (с чередованием остатков 1 и 0 при делении на 4).

Тут есть еще один более глубокий «фокус-покус»:

где  всегда целое число. В числителе стоят два подряд идущих числа. Одно из них всегда четное, значит, это выражение делится на 2.

Получается замечательная вещь. Квадрат любого нечетного числа дает остаток 1 при делении на 8. Это — очень важный факт. Но в нашем случае важен остаток при делении на 4.

Вернемся к нашему уравнению

х² + у² = z² (7)

(так как это — формулировка теоремы Пифагора, то такие прямоугольные треугольники со сторонами х, у, z, где х, у, z — целые числа, называются «пифагоровыми»).

Прежде всего сократим все на 2.

Делим на 2 все три числа, пока они синхронно будут делиться. Затем, заодно, разделим все три числа на все их прочие общие простые множители. Так мы опишем не все треугольники, а только качественно разные. Поясним сказанное, воспользовавшись понятием подобия треугольников.