Согласно основной теореме арифметики, существует единственное разложение натурального числа на простые множители с точностью до порядка сомножителей. Значит, по обе стороны от знака равенства стоят наборы одинаковых простых чисел. В частности, q₁² равен произведению двух чисел из правой части.

Так как пересечений простых множителей в наборах  p₁,..., p_k и w₁,..., w_m нет, то этот квадрат целиком «сидит» в одном из наборов. Но то же самое можно сказать и про все прочие квадраты!

Поэтому все простые числа набора p_i входят в разложение числа (z − y)/2 в четных степенях, и то же самое верно для набора w_j. Следовательно, числа (z − y)/2 и (z + y)/2 являются квадратами[34].

Это очень сильное утверждение (потому что квадратов очень мало среди натуральных чисел). 1, 4, 16, 25, 36, 49… — они встречаются все реже.

Введем новые обозначения. Так как наши выражения — квадраты, то обозначим:

Тогда

Вспомним, чему равен x: x = 2k.