А теперь начинается ключевой момент доказательства, не очень сложный, но крайне важный, так как он работает при решении многих диофантовых уравнений.

Раз x — четное число, то x = 2k при целом k. B этом случае уравнение будет иметь вид 4k² + y² = z².

Перекинем y² направо: 4k² = z² − y², то есть

Так как z и y — нечетные числа, то их разность и сумма — четные числа. Поэтому (z − y)/2 и (z + y)/2 — целые числа.

Получилось, что k² равно произведению некоторых двух целых чисел.