А теперь смотрите, мы договорились, что достаточно искать такие тройки, в которых ни у какой пары чисел нет общих делителей. Поэтому у и z не имеют общих множителей, y = p₁p₂p₃ ... p_a, z = q₁q₂q₃ ... q_b, и эти наборы простых чисел разные. Как говорят математики, в этом случае у и z взаимно просты. Сами они при этом совершенно не обязательно простые. Например, 15 = 3 · 5 и 22 = 2 · 11, следовательно, 15 и 22 — взаимно простые числа, хотя ни одно из них не является простым.

Теперь я утверждаю, что (z − y)/2 и (z + y)/2 также взаимно простые, то есть не имеют ни одного общего множителя. Почему? Предположим, что у них есть общий делитель. Например, они делятся на 3. Тогда, их сумма и разность тоже делятся на 3. Но

Получается , то есть у, z оба делятся на 3. Мы пришли к противоречию. Значит, (z − y)/2 и (z + y)/2 тоже не имеют общих делителей.

 Вернемся к нашему выражению

Числа справа состоят из разных простых делителей. В каждое из чисел простые множители могут входить хоть поодиночке, хоть в степенях, но пересечений между разложениями (z − y)/2 и (z + y)/2 нет. Например,

(Вместо 5 и 7 здесь могут быть любые степени.)

С другой стороны, k² = q₁²q₂² ... q_f², поэтому