x² + y² = x² − (−y²).

Если бы я мог извлечь корень из −у², то смог бы разложить это выражение следующим путем:

В обычной жизни корень из −1 не извлекается, но с помощью комплексных чисел это возможно. Пока мы исходим из желания получить комплексное число наиболее естественным образом. Мы хотим разложить сумму квадратов на множители. Давайте считать, что есть такое число √−1, обозначим его за i. √−1 = i. Тогда

х² + у² = х² − (−у²) = х² − i² у² = (х − уi)(х + yi).

Это критически важно для многих задач. Например, для задачи о том, какие простые числа раскладываются в сумму двух квадратов. Число 41 — простое. Оно является суммой двух квадратов: 25 + 16; 41 = 5² + 4². Если мы умеем раскладывать такую сумму на множители, то у нас получатся любопытные вещи: 41 = (5 + 4i)(5 − 4i). Мы попадем в знакомую ситуацию, связанную с разложением числа 41 на множители, только теперь эти множители — числа новой природы.

Число i — не является вещественным (то есть не лежит на обычной числовой прямой и не может использоваться для измерения физических величин) и, если мы нарисуем вещественную ось, оно будет находиться где-то вне нашей оси. Мы можем выбрать сами, где его поместить. Удобнее всего поместить i на вертикальной оси, выбрав некоторую плоскость, содержащую обычную вещественную ось (см. рис. 142).

Рис. 142. Вот где притаилось загадочное число i.