Итак, на этом примере продемонстрировано, что если какая-то точка имеет рациональные координаты, то угол наклона прямой, проходящей через нее и через точку (0, −1), будет рациональным числом. Это следует из того, что оба катета выражаются в этом случае рациональными числами, а отношение двух рациональных чисел является рациональным числом. Говорят, что рациональные числа «образуют поле», так как сумма, разность, произведение и частное дробей являются дробью.

Итак, если точка рациональная, то и наклон прямой, проходящей через нее и через точку (0; −1) будет рациональным числом. Теперь мы докажем и обратное: если в формулу у = kх − 1 вместо k подставить любое рациональное число, то мы всегда получим в пересечении с окружностью две точки: (0; −1) и какую-то другую рациональную точку.

Как найти точку пересечения прямой у = kх − 1 с окружностью х² + у² = 1?

Нужно решить систему уравнений

Подставим значение у из первого уравнения во второе