x(1 + k²) = 2k; х = 2k/(1 + k²),

Из этих формул видно, что если k — рациональное число, то у и х — тоже рациональные. Рациональные числа — это числа, с которыми можно производить действия арифметической природы — плюс, минус, разделить, умножить. Рациональные числа от этого остаются рациональными (то есть эти действия не выводят нас за пределы множества рациональных чисел).

Что значит «k — рациональное число»? Это значит, что k = m/n. Подставим вместо k дробь m/n, считая, что m, n — положительны, причем m > n, а дробь m/n несократима:

Осталось вспомнить, что в исходном уравнении х = а/с и у = b/с. Поэтому можно взять в качестве а числитель первой дроби, в качестве b — числитель второй дроби и в качестве с — их общий знаменатель. Получится: а = 2mn, b = m² − n², с = m² + n². Одно из решений получается сразу, а прочие ему пропорциональны. Мы имеем тот же ответ, что и при первом способе решения. Внешне два метода, которыми мы решали эту задачу, совершенно не связаны друг с другом. Координаты и окружность нам показывают, какие множества высекают на плоскости те или иные алгебраические уравнения. А в первом способе была делимость и основная теорема арифметики. Она, являясь исключительно арифметическим приемом, не имеет никакого отношения к геометрии. Стоит сказать, что если бы математики приходили к разным результатам, решая одну и ту же задачу разными методами, то математика не была бы наукой. На деле же математика — это одно большое знание, связывающее разные методы между собой одним и тем же ответом.