Рис. 139. Прямая, проходящая через точку (0, −1) и еще одну рациональную точку, обладает рациональным коэффициентом наклона.

Давайте посмотрим, как выглядит уравнение прямой, проходящей через точку (0, −1) в общем случае. Вспомним, что у = kx+b — уравнение прямой «с угловым коэффициентом и свободным членом».

Если она проходит через точку (0, −1), то при подстановке х = 0, у = −1 в наше уравнение мы должны получить верное равенство. Подставим: −1 = 0k + b, откуда b = −1, то есть наше уравнение имеет вид у = kx − 1.

Мы получили общий вид прямой, проходящий через точку (0; −1). При разных k мы будем получать прямые с разным наклоном (рис. 140).

Рис. 140. Обратите внимание на вспомогательный прямоугольный треугольник справа с вершиной в точке (0, −1).

Если точка (x, у) рациональна, то k — тоже рациональное число (k — это тангенс угла наклона прямой, в нашем случае он равен отношению противолежащего катета к прилежащему в полученном треугольнике). См. рис. 140, катеты вспомогательного треугольника.

Вертикальный катет равен y + 1. Горизонтальный равен x. Для точки (3/5, 4/5) эти числа равны 9/5 и 3/5. Получается отношение катетов k = 9/5 : 3/5 = 3. Наша прямая имеет вид: y = 3x − 1.