Как видим, пифагоровы тройки нами разбиты «в пух и прах», но ость одна незадача. При k = 0 получается прямая, параллельная оси х (см. рис. 141).

Рис. 141. Совпадение двух точек пересечения.

И вторая точка пересечения оказывается равной первой. Это как раз и отражает эффект касания. Алгебраические геометры, когда говорят о касании, всегда имеют в виду кратный корень, то есть корень, в котором совпали вместе несколько бывших некратных решений.

Есть еще один любопытный момент. Есть еще одна рациональная точка, которую мы не заметили на окружности. Точка (0, 1). Это решение появится у нас при k = ∞.

Если мы хотим параметризовать окружность с помощью рациональных чисел, нужно, чтобы каждому рациональному числу соответствовала одна, и только одна точка на окружности. У нас же получается так, что на окружности есть лишняя точка, которая ни одному рациональному k не соответствует. В таком случае математики рассматривают не обычную прямую, а проективную. Мы уже сталкивались с проективной геометрией. В задаче на построение с помощью линейки у нас точка пересечения пучка прямых уходила в бесконечность.

Таким образом, методы алгебраической геометрии часто связаны с проективной геометрией.

А теперь третий метод решения той же задачи — комплексные числа. Мы разберем его на следующей лекции, а сейчас — обещанное введение в арифметику комплексных чисел.

Очень хочется разложить на множители х² + у². Мы умеем раскладывать разность квадратов. Попробуем представить нашу сумму в виде разности: