Опять рассмотрим прямоугольный треугольник, наименьший в семействе. Иными словами, x, у, z попарно взаимно просты, у них нет общих делителей. Тогда довольно просто показать, что (x + уi) и (x − yi) — также взаимно просты (это следует из разной четности x и у).

То есть у гауссова числа и сопряженного ему гауссова числа нет общих делителей.

Вспоминаем прошлую лекцию: (х + уi)(х − уi) = z².

Произведение равно квадрату некоторого числа. Значит, все (Гауссовы) простые множители числа z входят в него в четной степени. Это означает, что в левой части уравнения стоит, с точностью до обратимых множителей, произведение двух квадратов.

Этот прием применяется во всех похожих структурах, не только в гауссовых числах. Если мы можем доказать основную теорему арифметики, то будет верен и этот замечательный результат: если произведение двух взаимно простых чисел равно квадрату, то каждое из этих чисел является квадратом с точностью до умножения на обратимые числа 1, i, −1 и −i (для гауссовых чисел) или до умножения на любые другие обратимые числа (если целые числа — не гауссовы).