Значит, наши числа (a + i) и (a − i), если они не взаимно просты, могут делиться только на (1 + i). Но тогда их произведение делится на (1 + i)² = 2i. Значит, b делится на 2, а b³ — на 8. Но тогда а² будет иметь остаток 7 при делении на 8, так как а² + 1 = b³. А значит, остаток 3 при делении на 4. А, как мы выяснили на предыдущей лекции, таких квадратов не существует. При делении на 4 квадрат дает в остатке либо 1, либо 0. Поэтому такого быть не может.

Значит, ни одного общего делителя у чисел (а + i) и (а − i) нет. Их произведение является поэтому кубом некоторого гауссова числа. Согласно основной теореме арифметики, из этого следует, что каждое из них само является кубом гауссова числа (снова с точностью до умножения на обратимый элемент 1, i, −1 или i). Но все они тоже кубы, так что сформулированное утверждение верно в точности: скажем, а + i = (m + ni)³.