Он к целым числам прибавил число i и спросил себя: а какие тогда должны быть числа еще взяты? Если мы взяли i и взяли 1, то мы должны, конечно, взять их сумму — 1 + i. Потому что мы должны уметь складывать, вычитать и умножать (если хотим действовать по правилам обычных целых чисел). Ясно, что эти требования нас в конце концов приведут ко взятию произвольных целых кратных числа i, сложенных с любыми целыми (обычными) числами.

Числа вида а + bi, где а, b — целые числа, называют гауссовыми числами. Складывать и вычитать их можно «покомпонентно», то есть (а + bi) ± (с + di) = (а ± с) + (b ± d)i. При этом «на выходе» получаются снова Гауссовы числа, потому что сумма и разность целых чисел всегда являются целыми числами.

Но для полноценной работы с новыми числами нужно уметь их друг на друга умножать. Чудо состоит в том, что при перемножении Гауссовых чисел по обычным правилам перемножения комплексных чисел «на выходе» снова получаются Гауссовы, то есть целые комплексные числа. Читателю книги доставит удовольствие самостоятельно перемножить два Гауссовых числа, чтобы увидеть, что целочисленность вещественной и мниной частей результата умножения сохраняется.

Кроме того, новые числа удовлетворяют всем тем же принципам умножения, вычитания и сложения, которые верны для обычных целых чисел (потому что новые числа — это «подмножество» комплексных чисел, а последние этим правилам подчиняются).

В то же время из-за того, что мы акцентируем внимание на их «цельности», то есть целочисленности, у нас появляются нетривиальные моменты, связанные с их делимостью друг на друга (аналогично тому, как в системе обычных целых чисел разрабатывается теория делимости, теория простых чисел и разложение на простые множители).

В частности, можно определить понятие простого гауссова числа.