x² + у² = z².

Мы его решили двумя способами: с помощью анализа делимости в обычных целых числах и с помощью алгебраической геометрии. Есть еще и третий способ.

Рис. 153. Решетка целых чисел на числовой оси (такого рода решетки бывают и на плоскости).

Подобно тому, как среди вещественных чисел можно выделить замечательное семейство целых, можно выделить не менее замечательные семейства и среди комплексных чисел. Чем целые числа принципиально отличаются от вещественных? В них (во множестве целых чисел) нельзя делить. Иногда получается разделить, а иногда — нет. Анализ того, что на что делится, приводит к содержательной и красивой науке: к простым числам, к основной теореме арифметики и, в конечном счете, к решению этого самого уравнения х² + у²= z².

Теперь мы живем на плоскости, и хотелось бы сделать что-нибудь подобное во множестве комплексных чисел. Давайте по аналогии распространим целые числа на плоскость. Как будут выглядеть целые числа на плоскости? Скажу по секрету, что на плоскости имеется огромное количество числовых систем, которые обобщают и продолжают целые числа. Можно построить числовые системы разными способами, и они все чрезвычайно важны для многих диофантовых уравнений. Различные диофантовы уравнения требуют различных числовых систем. Но самое простое — это рассмотреть комплексные числа, у которых просто обе части (и вещественная и мнимая) являются целыми числами (рис. 154).

Рис. 154. Загадочные гауссовы числа: среди них есть «простые», но как раз они-то и оказались самыми загадочными.

Узлы этой сетки и есть «целые числа» на плоскости. Первым их рассматривал Гаусс, мы назовем их Z[i]. Z — значит «целое», [i] — конкретное комплексное число, присовокупленное к целым.