Рис. 155. Вот чудеса-то: сумма чисел (1 + i) и (1 − i) равна их произведению! Но обычное число 2 похитрее будет: 2 + 2 = 2 · 2 = 2².

По правилу умножения мы должны взять произведение двух длин. Длина вектора 1 + i равна длине вектора 1 − i и обе равны √2, так как это гипотенуза прямоугольного треугольника с единичными катетами. Значит, у произведения должна быть длина √2 · √2 = 2.

Посмотрим, что произойдет с углами. При умножении углы складываются. Но они у нас противоположные по знаку, значит, при сложении получится 0. То есть при умножении мы получим вектор длины 2, направленный по оси X. Обратите внимание, что мы невзначай нашли одно из решений уравнения в комплексных числах: z + w = zw (подпись к рис. 155).

Какие еще числа перестают быть простыми? Например, число 5. Теперь 5 = (2 + i)(2 − i) = 2² + 1². А число 3 можно разложить на множители или нет? Есть ли тут какое-то общее правило?

Оказывается, есть. Более того, ответ на заданный вопрос теснейшим образом связан с вопросом про «обычные» целые числа, а именно: какие простые числа можно представить в виде суммы двух полных квадратов — то есть двух чисел, из которых можно нацело извлечь квадратный корень? Потрясающим образом этот вопрос решается введением Гауссовых чисел и изучением их арифметики.

Окинем еще раз взглядом наши построения. Мы ввели комплексные числа. Потом в них выделили семейство «целочисленных» комплексных чисел и назвали их гауссовыми. Там развили делимость, научились делить с остатком, обнаружили «Основную теорему арифметики». Зачем? Ответ таков: некоторые вопросы из арифметики обычных целых чисел можно решить только через гауссовы числа.

Какие простые числа представляются в виде суммы двух квадратов? Эта задача чрезвычайно важная в теории кодирования. (Здесь под словом «кодирование» понимается запись информации в таком виде, чтобы ее не смогли прочесть посторонние лица. А «посторонние лица» обычно очень интересуются методами «взлома» использованного кода.) Человек, который что-то знает про кодирование/декодирование, может взять и разрушить систему Пентагона в два щелчка мыши (вот вам и готов международный конфликт).

Вопросы математического кодирования — это вопросы примерно такого же типа, как и задача о разложении простого числа в сумму двух квадратов. И вот долгожданный ответ на поставленный выше вопрос.

Теорема. (Ферма — Эйлер — Гаусс. Гаусс здесь упомянут потому, что он ввел Гауссовы числа и установил простым образом все три эквивалентности, приводимые в формулировке.)