Видно, что k = mn, следовательно, x = 2mn.
k = mn
x = 2mn
Итак, мы доказали, что если x, y, z являются целыми сторонами прямоугольного треугольника (минимального в серии подобных пифагоровых треугольников), то существует пара целых чисел n и m с таким свойством, что x равен удвоенному произведению этих чисел, у — разности квадратов этих чисел, а z — сумме квадратов этих чисел. Это — обязательное условие:
x, y, z
n
m
x
у
z
x = 2mn,
x = 2mn,
y = m2 − n2,
y = m2 − n2,
z = m2 + n2.
z = m2 + n2.
Остается вопрос: можно ли брать m и n произвольным образом?
m
n
Во-первых, чтобы «у» было положительным числом, нужно чтобы выполнялось неравенство m > n («у» — сторона треугольника, она не может быть отрицательным числом). Во-вторых, m и n, должны быть взаимно простыми числами разной четности, чтобы x, у, z получились взаимно простыми.