Разделим это выражение на c² и введем новые обозначения x = a/c, y = b/c:

(a/c)² + (b/c)² = 1.

Обе скобки — числа рациональные, т.е. дроби.

Какая фигура на плоскости описывается уравнением: x2 + y2 = 1? Окружность единичного радиуса.

А теперь — чудо. Задача, которую мы решаем — найти на этой окружности все рациональные точки (т.е. точки, у которых обе координаты являются дробями). Вот как звучит наша задача при втором подходе к решению!

Какую точку на окружности даст нам треугольник 3, 4, 5? Точку (3/5; 4/5). Стороны 20, 21, 29 породят точку (20/29; 21/29). Для любой точки, которая попадает на окружность, сумма квадратов координат должна быть равна единице. Но не любая из этих точек рациональна.

Нужно найти все такие точки. Возьмем одну очевидную рациональную точку с координатами (0, −1).

Слушатель: А почему не (0; 1) или какую-то другую?

А.С: В принципе, можно выбрать какую угодно точку окружности. Я выбрал такую точку, при которой формулы будут выглядеть проще всего.

Давайте предположим, что есть еще одна рациональная точка (х, у). Тогда прямая, которая проходит через эти две точки, имеет уравнение с рациональными коэффициентами (см. рис. 139). Докажем это.