Числу х + уi естественным образом сопоставляется число x − yi, которое лежит по другую сторону от вещественной оси.

Числа вида (х + уi) и (x − yi) называются сопряженными. Чему равно произведение этих чисел?

(х + yi)(x − yi) = х² + у².

Что такое х² + у² в геометрическом смысле? Это длина вектора, обозначающего наше комплексное число, возведенная в квадрат. Квадрат длины комплексного числа, рассматриваемого как вектор, равен произведению его самого и ему сопряженного.

И еще одна выкладка. Интересно, что получится, если я перемножу векторы, сопряженные к нашим исходным векторам:

(х − yi)(z − ti) = (xz − yt) − (xt + yz)i.