длина вектора произведения равна произведению длин исходных векторов

Мы узнали, что при перемножении комплексных чисел их длины перемножаются. Осталось выяснить, куда будет направлен вектор произведения. Вопрос, что же происходит с углами поворота каждого из сомножителей?

Сейчас я могу только сказать, что мое произведение лежит где-то на окружности радиуса, равного произведению длин наших векторов. Но где именно? Сейчас мы рассмотрим преобразование плоскости. Давайте нанесем на наши оси координат единичную окружность. На этой окружности «живут» точки 1, −1, i и −i (рис. 149).

Рис. 149. Единичная окружность на комплексной плоскости.

Как записать координаты точки на окружности? Какое комплексное число живет в точке единичной окружности, если вектор повернут на угол φ (см. рис. 150)?

Рис. 150. Нижний катет равен cos φ, правый равен sin φ.