Точка данной окружности определяется углом, на который повернулся вектор единичной длины. Косинус — это координата по оси x, синус — по оси у. В учебниках пишут, что косинус это отношение прилежащего катета к гипотенузе. Но здесь гипотенуза имеет длину 1. Поэтому косинус равен просто горизонтальному катету. А синус — это отношение другого катета к гипотенузе. Гипотенуза имеет длину 1, и синус — это просто второй катет.

А теперь я совершу обещанное преобразование: умножу все точки плоскости на комплексное число cos φ + i sin φ.

Напомню, что при умножении комплексных чисел длина получаемого вектора равна произведению длин перемножаемых

Подставим слева в формулу cos р и sin р вместо z и t

Ho cos² φ + sin² φ = 1 (основное тригонометрическое тождество, следствие теоремы Пифагора). Получаем

Мы домножаем на единицу, а значит, длина вектора не изменяется.