Получается, что при умножении на число cos φ + i sin φ любое комплексное число остается на той же окружности, на которой оно лежало.
i
Комплексное число «жило», например, в точке А, на расстоянии от точки (0, 0); после преобразования оно будет «жить» на той же самой окружности в какой-то другой точке В, но на том же расстоянии от (0, 0) (см. рис. 151).
А,
В,
Похожим образом показывается, что для любых двух точек плоскости умножение на cos φ + i sin φ не изменит расстояния между ними.
для любых двух точек плоскости умножение на
+ i
не изменит расстояния между ними.
Рис. 151. В = A · (cos φ + i sin φ)
Рис. 151. В = A · (cos
+ i sin
)
Иными словами, умножение на число cos φ + i sin φ, примененное ко всем точкам плоскости, является движением плоскости.
+ i
,
движением плоскости.
Давайте попробуем понять, что же это за движение.
Для простоты изложения по ходу дела точки плоскости я буду называть комплексными числами, а комплексные числа точками плоскости. Это позволит стереть некоторый налет «мнимости», остающийся в выражении комплексные числа.