(х + yi)(z + ti)(x − yi)(z − ti) = [(xz − yt) + (xt + yz)i][(xz − yt) − (xt + yz)i]) = (xz − yt)2 + (xt + yz)2.
(х + yi)(z + ti)(x − yi)(z − ti) = [(xz − yt) + (xt + yz)i][(xz − yt) − (xt + yz)i]) = (xz − yt)2 + (xt + yz)2.
А если я вспомню, что от перемены мест множителей произведение не меняется, и переставлю скобки, то получу
[(x + уi)(х − yi)][(z − ti))(z + ti)] = (х2 + y2)(z2 + i2).
[(x + уi)(х − yi)][(z − ti))(z + ti)] = (х2 + y2)(z2 + i2).
Но мы же умножали одно и то же, значит, результаты совпадают:
(x2 + y2)(z2 + t2) = (xz − yt)2 + (xt + yz)2.
(x2 + y2)(z2 + t2) = (xz − yt)2 + (xt + yz)2.
Это таинственное правило иногда изучается в школе как одно из правил сокращенного умножения. Но смысл его скрывается. Можно честно раскрыть все скобки и получить верное равенство. Совершенно честно, без всяких комплексных чисел. Но если вы сделаете это без комплексных чисел, то природа явления будет не видна и непонятна. А с помощью комплексных чисел мы говорим, что (xz − yt)2 + (xt + yz)2 — квадрат длины вектора, который является произведением исходных векторов (х, у) и (z, t). А (х2 + у2) и (z2 + t2) квадраты длин самих исходных векторов. Если я извлеку корень из этих длин, то получится, что
xz − yt)
2
xt
yz)
2
—
(х, у)
(z, t).
(х
2
у