С другой стороны, это произведение равно cos(φ + ψ) + i sin(φ + ψ). Получается, что

cos(φ + ψ) + i sin(φ + ψ) = (cos φ cos ψ − sin φ sin ψ) + i(cos φ sin ψ + sin φ cos ψ).

Но если два комплексных числа равны друг другу, то вещественная часть равна вещественной, а мнимая — мнимой:

cos(φ + ψ) = cos φ cos ψ − sin φ sin ψ,

sin(φ + ψ) = cos φ sin ψ + sin φ cos ψ.

Это и есть те «зловредные» формулы, которые доставляли вам головную боль в школе, всем поголовно. Они очень легко выводятся с использованием комплексных чисел.

Некоторые соображения о преподавании математики в школе.