Один из примеров движения плоскости ровно с одной неподвижной точкой хорошо известен: это — поворот на некоторый угол относительно неподвижной точки. Но, может быть, одними поворотами дело не ограничивается? Этот вопрос исследовал французский математик М. Шаль. Оказалось, что ничего, кроме поворотов, в этой ситуации быть не может. Принимая его исследования на веру,[38] делаем вывод, что изучаемое преобразование является поворотом.

Итак, это движение — поворот. Остается вопрос, на какой угол мы повернули? Для ответа на этот вопрос вспомним, что число q2 лежит на окружности, то есть равно cos φ + i sin φ при некотором значении угла φ.

Я утверждаю, что наше движение является поворотом именно на угол φ. Потому что точка q₁ = 1 перешла в точку q₁q₂ = cos φ + i sin φ. А раз единица в нее перешла, значит, мы повернули плоскость на угол φ. Ведь комплексное число q₁ = 1 + 0_i имело в начальный момент нулевой угол поворота.

Таким образом, любая точка переходит в точку, которая получается поворотом на угол φ соответствовавшего исходной точке вектора.

В частности, если я беру некоторый вектор и умножаю его на вектор cos φ + i sin φ, то он переходит в вектор, повернутый на угол φ. Особый важный случай — это умножение на вектор cos π/2 + i sin π/2, то есть просто на число i. Умножение вектора на i приводит к тому, что этот вектор поворачивается на 90°. Это особенно важно для тех технических вузов, где изучают ТОЭ (теоретические основы электротехники). Злые языки даже утверждают, что перед основным экзаменом по ТОЭ там производится предэкзамен: у студента, заснувшего на лекции, над ухом стреляют хлопушкой и грозно спрашивают: УМНОЖЕНИЕ на i? Он должен сразу ответить: ПОВОРОТ НА 90 ГРАДУСОВ! (рис. 152).