Рис. 152. Умножение на i это поворот на 90°.

И окончательно. При умножении комплексных чисел углы складываются. Это правило, которое мы вывели, позволяет нам увидеть все арифметические операции над комплексными числами. А именно, при сложении комплексных чисел складываем их как вектора — по правилу параллелограмма. При умножении — длины векторов перемножаются, а углы поворотов складываются. Слегка почесав в затылке, можно даже сказать так: при делении комплексных чисел их длины делятся, а углы поворота вычитаются друг из друга.

Сейчас будет бонус. Наконец-то мы запомним две зловредные формулы.

Давайте возьмем еще одну точку, лежащую на единичной окружности: cos ψ + i sin ψ. Куда она перейдет при умножении на cos φ + i sin φ?

Она перейдет в точку той же окружности, но повернется на угол φ. То есть суммарный угол для произведения будет (ψ + φ).