Пусть q₁ = х + yi, q₂ = z + ti два комплексных числа, второе из которых не равно ни нулю, ни единице, но при этом лежит на единичной окружности (то есть имеет модуль, или длину, равную единице). Второе число, q₂, мы на время всего рассуждения зафиксируем, а первое число, q₁, будем «перебирать», подставляя всевозможные комплексные значения.

С помощью формулы q₁q₂ мы сконструировали некоторое преобразование точек плоскости: любая точка q₁ при этом преобразовании переходит в точку q₁q₂. Ключевое утверждение состоит в том, что у этого преобразования будет только одна неподвижная точка: q₁ = 0 (то есть только одна точка останется на месте).

Проведем доказательство этого утверждения. Допустим, какая-то точка q₁ осталась на месте. Это означает, что q₁ = q₁q₂. Перенесем оба выражения в левую часть, получим:

q₁(1 − q₂) = 0.

Мы договорились, что q₂ ≠ 1, а тогда 1 − q₂ ≠ 0, и на этот множитель можно сократить обе части равенства. Следовательно, q₁ = 0, что и утверждалось. Таким образом, наше преобразование плоскости является движением (что было установлено выше) и оставляет на месте ровно одну точку, а именно точку q₁ = 0.